Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{|2x-1|+|x+1|-a}$的定义域为R．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证：$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$≥3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，即可得到a的范围，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得m+n=3，则（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{3}$（1+4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），根据基本不等式即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵|2x-1|+|x+1|-a≥0，
∴a≤|2x-1|+|x+1|，
根据绝对值的几何意义可得|2x-1|+|x+1|的最小值为$\frac{3}{2}$，
∴a≤$\frac{3}{2}$，
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a的最大值为k=$\frac{3}{2}$，
∴m+n=3，
∴（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{3}$（1+4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{3}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=3，
问题得以证明．

点评 本题考查绝对值的几何意义，不等式的证明，考查计算能力．