Question

12．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AC₁⊥平面ABC，$A{A_1}=\sqrt{2}a$，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D是AA₁的中点．
（1）求证：CD⊥平面AB₁；
（2）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；又AC=A₁C，D为AA₁中点，则CD⊥AA₁．即可证明：CD⊥平面AB₁；
（2）求出平面的法向量，利用二面角E-A₁C₁-A的大小为$\frac{π}{3}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，
∴AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；
又AC=A₁C，D为AA₁中点，则CD⊥AA₁．
∴CD⊥面ABB₁A₁．
（2）解：如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，CA₁为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a），C₁（-a，0，a），
设E（x，y，z），且$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{B{B_1}}$，即有（x-a，y-a，z）=λ（-a，0，a），
所以E点坐标为（（1-λ）a，a，λa）．
由条件易得面A₁C₁A的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（0，1，0）$．
设平面EA₁C₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{{A_1}{C_1}}\\ \vec n⊥\overrightarrow{{A_1}E}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}-ax=0\\（1-λ）ax+ay+（λ-1）az=0\end{array}\right.$，
令y=1，则有$\overrightarrow{n_2}=（0，1，\frac{1}{1-λ}）$，
则$cos\frac{π}{3}=|\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}|$=$\frac{1}{{\sqrt{1+\frac{1}{{{{（1-λ）}^2}}}}}}=\frac{1}{2}$，得$λ=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
所以，当$\frac{{|\overrightarrow{BE}|}}{{|\overrightarrow{B{B_1}}|}}=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，二面角E-A₁C₁-A的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判断，考查了二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．