Question

17．设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞1，则不等式（x-2017）³f（x-2017）-27＞0的解集为（　　）

• A． （2014，+∞）
• B． （0，2014）
• C． （0，2020）
• D． （2020，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=x³f（x），判断出g（x）在（0，+∞）递增，原不等式转化为g（x-2017）＞g（3），解出即可．

解答 解：∵3f（x）+xf′（x）＞1，
∴3x²f（x）+x³f′（x）＞x²＞0，
故[x³f（x）]′＞0，
故g（x）=x³f（x）在（0，+∞）递增，
∵（x-2017）³f（x-2017）-27f（3）＞0，
∴（x-2017）³f（x-2017）＞3³f（3），
即g（x-2017）＞g（3），故x-2017＞3，解得：x＞2020，
故原不等式的解集是（2020，+∞），
故选：D．

点评 本题考查了函数与导数，考查不等式的解集以及不等式恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，是一道中档题．