Question

7．若对?m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）-3，求$f（x）=\frac{{x\sqrt{1-{x^2}}}}{{{x^2}+1}}+g（x）$的最大值与最小值之和是（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 构造h（x）=g（x）-3，根据函数奇偶性的定义可判定函数h（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．

解答 解：∵?m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）-3，
∴令m=n=0时，g（0）=g（0）+g（0）-3，
∴g（0）=3，
令m=-n时，g（0）=g（-n）+g（n）-3，
∴g（x）+g（-x）=6，
令h（x）=g（x）-3，则h（x）+h（-x）=0即h（x）为奇函数，
奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，∴g（x）_max+g（-x）_min=6，
设F（x）=$\frac{x\sqrt{1-{x}^{2}}}{{x}^{2}+1}$，则F（-x）=-F（x），函数为奇函数，最大值与最小值之和为0，
∴．$f（x）=\frac{{x\sqrt{1-{x^2}}}}{{{x^2}+1}}+g（x）$的最大值与最小值之和是6．
故选B．

点评 本题考查了抽象函数及其应用，主要考查了函数的性质的应用，本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，解决本题的关键是恰当构造奇函数．属于中档题．