Question

18．已知正项数列n的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1²=S_n+1+S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={a_{2n-1}}•{2^{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式：n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，将n换为n-1，相减，再结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得数列{b_n}的通项，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）正项数列n的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1²=S_n+1+S_n，①
当n≥2时，a_n²=S_n+S_n-1②
①-②可得a_n+1²-a_n²=（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，
可得a_n+1-a_n=1，
则数列{a_n}是从第二项起，公差为1的等差数列，
a₂²=S₂+S₁=a₁+a₂+a₁=2+a₂，
解得a₂=2（-1舍去），
当n≥2时，a_n=a₂+（n-2）d=2+n-2=n；
上式对n=1也成立．
则数列{a_n}的通项公式a_n=n（n∈N*）；
（2）由（1）得
${b_n}={a_{2n-1}}•{2^{a_n}}=（{2n-1}）•{2^n}，{T_n}=2+3•{2^2}+5•{2^3}+…+（{2n-1}）•{2^n}$，③
$2{T_n}={2^2}+3•{2^3}+…+（{2n-3}）•{2^n}+（{2n-1}）•{2^{n+1}}$，④
③-④得，$-{T_n}=2+2×{2^2}+…+2×{2^n}-（{2n-1}）•{2^{n+1}}$，
所以$-{T_n}=2+\frac{{{2^3}•（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{2n-1}）•{2^{n+1}}$，
故${T_n}=（{2n-3}）•{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．