Question

3．已知f（x）=|ax-1|，若实数a＞0，不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若$\frac{f（x）+f（-x）}{3}$＜|k|存在实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；
（Ⅱ）根据不等式的性质求出 $\frac{f（x）+f（-x）}{3}$的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由|ax-1|≤3，得-3≤ax-1≤3，解得：-2≤ax≤4，
a＞0时，-$\frac{2}{a}$≤x≤$\frac{4}{a}$，
而f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}，
故 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{a}=-1}\\{\frac{4}{a}=2}\end{array}\right.$，解得：a=2；
故a=2；
（Ⅱ） $\frac{f（x）+f（-x）}{3}$=$\frac{|2x-1|+|2x+1|}{3}$≥$\frac{|2x-1-2x-1|}{3}$=$\frac{2}{3}$，
故要使 $\frac{f（x）+f（-x）}{3}$＜|k|存在实数解，只需|k|＞$\frac{2}{3}$，
解得k＞$\frac{2}{3}$或k＜-$\frac{2}{3}$，
∴实数k取值范围是（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．