Question

6．已知函数f（x）=lnx-ax．其中a为非零常数．
（1）求a=1时，f（x）的单调区间；
（2）设b∈R，若f（x）≤b-a对x＞0恒成立，求$\frac{b}{a}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据f（x）≤b-a?b＞lnx-ax+a，设h（x）=lnx-ax+a，通过讨论a的范围，求出h（x）的最大值，从而求出$\frac{b}{a}$的最小值即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=lnx-x，则f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）f（x）≤b-a?b＞lnx-ax+a，
设h（x）=lnx-ax+a，则h′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a＜0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，b≥h（x）不可能恒成立，
a＞0时，h′（x）＞0?0＜x＜$\frac{1}{a}$，h′（x）＜0?x＞$\frac{1}{a}$，
∴h（x）_max=h（$\frac{1}{a}$）=ln（$\frac{1}{a}$）-1+a=a-lna-1，
b≥a-lna-1?$\frac{b}{a}$≥1-$\frac{lna}{a}$-$\frac{1}{a}$，
设g（a）=1-$\frac{lna}{a}$-$\frac{1}{a}$（a＞0），g′（a）=$\frac{lna}{{a}^{2}}$，
∴g′（a）＞0?a＞1，g′（a）＜0?0＜a＜1，
∴g（x）_min=g（1）=0，解得：$\frac{b}{a}$≥0，
∴a=1，b=0时，$\frac{b}{a}$取最小值0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．