Question

16．已知a＞0，函数$f（x）=-2asin（{2x+\frac{π}{6}}）+2a+b$，当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，-5≤f（x）≤1
（1）求常数a，b的值；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$时，求f（x）的最大值与最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，再根据题意列出方程组，求出a、b的值；
（2）由a、b的值写出f（x）的解析式，再根据x的取值范围求出f（x）的最大、最小值以及对应的x值．

解答 解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7}{6}$π，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
又∵a＞0，-5≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2a+2a+b=-5\\ a+2a+b=1\end{array}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-5\end{array}$；
（2）由a=2、b=-5知，f（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1；
∴当$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$时，$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$；
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值-5；
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，得x=0时，f（x）取得最大值-3．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．