Question

1．已知函数f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（mn＞0），
给出下列四个命题：
①当b=0时，函数f（x）为奇函数；
②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；
③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；
④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{-4，-2，0，3}．
则是真命题的有①②③．

Answer 1

分析 ①，b=0时，f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$，f（-x）=-f（x），所以函数f（x）为奇函数；
②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是奇函数h（x）=$\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到；
③，将f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x-b）²-a（x-b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断；
④，关于x的方程g（x）=0的解集?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{-4，-2，0，3}；

解答 解：对于①，b=0时，f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$，f（-x）=-$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$=-f（x），所以函数f（x）为奇函数，故正确；
对于②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是奇函数h（x）=$\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到，故正确；
对于③，∵f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），
∴y（x-b）²-a（x-b）+cy=0有实数解，
∴△=a²-4cy²≥0，又a≠0，c＞0
∴y²≤$\frac{{a}^{2}}{4c}$，
∴-$\frac{|a|}{2\sqrt{c}}$≤y≤$\frac{|a|}{2\sqrt{c}}$．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立，故正确；
对于④，关于x的方程g（x）=0的解?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{-4，-2，0，3}，故错；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了函数的基本性质，属于中档题．