Question

11．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的两焦点，点P是该椭圆上一动点，则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范围为[-2，1]．

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=$\frac{1}{4}$（3x²-8），由-2≤x≤2，即可求得答案．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，焦点知F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），设P（x，y），-2≤x≤2，
则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3=$\frac{1}{4}$（3x²-8），
∵-2≤x≤2，
∴0≤x²≤4，故$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$∈[-2，1]，
故答案为：[-2，1]．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．