Question

19．在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的最大值为2．

Answer 1

分析 建立适当的平面直角坐标系，设角度为参数，利用坐标表示与参数方程建立$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的解析式，利用三角函数求出它的最值．

解答 解：建立如图所示平面直角坐标系，
设∠BOC=x，则∠BOD=x+$\frac{π}{3}$；
∴C（2cosx，2sinx），D（2cos（x+$\frac{π}{3}$），2sin（x+$\frac{π}{3}$）），
且A（-2，0），B（2，0）；
∴$\overrightarrow{AC}$=（2cosx+2，2sinx），
$\overrightarrow{BD}$=（2cos（x+$\frac{π}{3}$）-2，2sin（x+$\frac{π}{3}$））；
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（2cosx+2）×（2cos（x+$\frac{π}{3}$）-2）
+2sinx×2sin（x+$\frac{π}{3}$）
=4cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）-4cosx+4cos（x+$\frac{π}{3}$）
-4+4sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）
=4cos$\frac{π}{3}$-4cosx+4cos（x+$\frac{π}{3}$）-4
=-4cos（x-$\frac{π}{3}$）-2；
当cos（x-$\frac{π}{3}$）=-1时，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$取得最大值2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的数量积应用问题，解题时应建立适当的坐标系，利用三角函数的定义与数量积的坐标运算，结合三角恒等变换求函数的最值．