Question

4．已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x-3
（1）求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象并写出单调区间；
（3）证明：函数f（x）在[1，+∞）是增函数．

Answer 1

分析 （1）只需求出x≤0时的表达式即可，设x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-2x-3，可求f（-x），再根据奇函数性质可求出f（x），及f（0）．
（2）根据各段函数特征依次画出即可；观察图象，从左向右呈上升趋势为增函数，呈下降趋势则为减函数，依此可写出单调区间．
（3）求导数，利用导数大于0，即可证明结论．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，∴f（-x）=x²+2x-3，
又∵f（x）是奇函数∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x+3，
∴f（x）=-x²-2x+3，
当x=0时，f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）函数y=f（x）的示意图如下：
     
单调递增区间为：（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为：（-1，1）．
（3）当x＞1时，f（x）=x²-2x-3，f′（x）=2x-2＞0，
∴函数f（x）在[1，+∞）是增函数．

点评 本题考查函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性，属中档题．