Question

14．已知函数$f（x）={log_a}\frac{x+1}{x-1}（a＞0，且a＞0，且a≠1）$
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，恒有$f（x）＞{log_a}\frac{m}{（x-1）（7-x）}$成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
（Ⅱ）根据对数函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{x+1}{x-1}＞0$解得x＞1或x＜-1，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
函数f（x）为奇函数，证明如下：
由（I）知函数f（x）的定义域关于原点对称，
又∵f（-x）=log_a$\frac{-x+1}{-x-1}$=log_a$\frac{x-1}{x+1}$=log_a（$\frac{x+1}{x-1}$）^-1=$-lo{g}_{a}\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，f（x）＞log_a$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，
即log_a$\frac{x+1}{x-1}$＞$lo{g}_{a}\frac{m}{（x-1）（7-x）}$对x∈[2，4]恒成立，
当a＞1时，即$\frac{x+1}{x-1}＞\frac{m}{（x-1）（7-x）}$对x∈[2，4]成立．
则x+1＞$\frac{m}{7-x}$，即（x+1）（7-x）＞m成立，
设g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，
∵x∈[2，4]
∴g（x）∈[15，16]，
则0＜m＜15，
同理当0＜a＜1时，即$\frac{x+1}{x-1}＜\frac{m}{（x-1）（7-x）}$对x∈[2，4]成立．
则x+1＜$\frac{m}{7-x}$，即（x+1）（7-x）＜m成立，
设g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，
∵x∈[2，4]
∴g（x）∈[15，16]，
则m＞16，
综上所述：a＞1时，0＜m＜15，0＜a＜1时，m＞16．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及不等式恒成立问题，利用对数函数的单调性，利用参数分离法进行求解即可，属于难题．