Question

14．已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且满足f（x）+f′（x）=2e^x，若a=f（-3），b=f（lnπ），c=f（|sinx|），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． c＞a＞b
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 由题意可知函数为偶函数，把给出的函数解析式求导后求出的值，代入导函数解析式判断导函数的符号，得到原函数的单调性，由单调性得答案．

解答 解：∵y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，
∴y=f（x）关于x=0（即y轴对称），
∵f（x）+f′（x）=2e^x，
∴e^xf（x）+e^xf′（x）=2e^2x，
∴（e^xf（x））′=（e^2x+c）′，
∴e^xf（x）=e^2x+c，
∴f（x）=e^x+ce^-x，
∵f（-x）=f（x），
∴c=1，
∴f（x）=e^x+e^-x，
易得f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，
∵|-3|＞|lnπ|＞|sinx|，
∴f（-3）＞f（lnπ）＞f（|sinx|），
∴a＞b＞c
故选：A

点评 本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，考查了函数的奇偶性的性质，解答的关键在于判断函数在R上的单调性，是中档题．