Question

5．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，圆C的方程转化为${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出圆C的直角坐标方程．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程化简整理得：${t}^{2}-2\sqrt{3}t+1=0$，由t的几何意义能求出|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.，（t为参数）$，
消去参数t，得：x+$\sqrt{3}y$-1=0，
圆C的方程为$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，即${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，即${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y$，
即${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$为圆C的直角坐标方程．
（2）将l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.，（t为参数）$代入圆C的直角坐标方程化简整理得：
${t}^{2}-2\sqrt{3}t+1=0$，由t的几何意义得：
|PA|+|PB|=t₁+t₂=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查曲线的直线坐标方程、直线的普通方程的求法，考查两线段的之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直线坐标互化公式的合理运用．