Question

17．数列{2ⁿ-1}的前n项1，3，7，…，2ⁿ-1组成集合${A_n}=\left\{{1，3，7，{2^n}-1}\right\}$（n∈N^*），从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S_n=T₁+T₂+…+T_n，例如当n=1时，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；当n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7，试写出S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．

Answer 1

分析 通过计算出S₃，并找出S₁、S₂、S₃的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论．

解答 解：当n=3时，A₃={1，3，7}，
则T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
∴S₃=T₁+T₂+T₃=11+31+21=63，
由S₁=1=2¹-1=${2}^{\frac{1×2}{2}}$-1，
S₂=7=2³-1=${2}^{\frac{2×3}{2}}$-1，
S₃=63=2⁶-1=${2}^{\frac{3×4}{2}}$-1，
…
猜想：S_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1，
故答案为：${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查归纳推理，注意解题方法的积累，属于中档题．