Question

9．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），且函数y=f（x-$\frac{3}{4}$）为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）对称；
③函数f（x）为R上的偶函数；
④函数f（x）为R上的单调函数；
其中真命题的序号为①②③（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 用x+$\frac{3}{2}$替换公式f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x）里的x，即可得出f（x）的周期；根据函数f（x）与f（x-$\frac{3}{4}$）的关系可得对称中心；根据f（x-$\frac{3}{4}$）周期性和奇偶性得出f（x）的奇偶性；利用f（x）的奇偶性判断单调性．

解答 解：对于①，∵f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），∴f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$），
∴f（x）=f（x+3），
∴f（x）是周期为3的函数，故①正确；
对于②，∵函数y=f（x-$\frac{3}{4}$）为奇函数，∴y=f（x-$\frac{3}{4}$）的图象关于点（0，0）对称，
∵y=f（x-$\frac{3}{4}$）的函数图象是由y=f（x）的图象向右平移$\frac{3}{4}$个单位得到的，
∴y=f（x）的函数图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）对称，故②正确；
对于③，∵f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），∴f（x-$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$）=-f（x-$\frac{9}{4}$），即f（x-$\frac{3}{4}$）=-f（x-$\frac{9}{4}$），
又f（x）的周期为3，∴f（x-$\frac{9}{4}$）=f（x-$\frac{9}{4}$+3）=f（x+$\frac{3}{4}$），
∴f（x-$\frac{3}{4}$）=-f（x+$\frac{3}{4}$），
又y=f（x-$\frac{3}{4}$）是奇函数，∴f（x-$\frac{3}{4}$）=-f（-x-$\frac{3}{4}$），
∴f（x+$\frac{3}{4}$）=f（-x-$\frac{3}{4}$），令x+$\frac{3}{4}$=t，则f（t）=f（-t），
∴f（t）是偶函数，即f（x）是偶函数，故③正确；
对于④，由③知f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上的单调性相反，
∴f（x）在R上不单调，故④错误；
故答案为①②③．

点评 本题考查了函数周期性、奇偶性判断，函数图象的平移变换，属于中档题．