Question

20．已知函数f（x）=cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{5}{12}$]
• B． （0，$\frac{5}{12}$]∪[$\frac{5}{6}$，$\frac{11}{12}$）
• C． （0，$\frac{5}{6}$]
• D． （0，$\frac{5}{12}$]∪[$\frac{5}{6}$，$\frac{11}{12}$]

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．

解答 解：函数f（x）=cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx=sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
可得T=$\frac{2π}{ω}$≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：
$\left\{\begin{array}{l}{ωπ+\frac{π}{6}≥0}\\{2ωπ+\frac{π}{6}≤π}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{πω+\frac{π}{6}≥π}\\{2ωπ+\frac{π}{6}≤2π}\end{array}\right.$，

解得ω∈（0，$\frac{5}{12}$]∪[$\frac{5}{6}$，$\frac{11}{12}$]．
故选：D．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．