Question

5．某市举行的“国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘快乐马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是
（1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；
（Ⅱ）若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A，同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是$P（\overline A）=\frac{C_n^2}{C_6^2}$，由对立事件的概率能求出n．
（2）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设印有“美丽绿城行”的球有n个，
同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A，
则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是$P（\overline A）=\frac{C_n^2}{C_6^2}$，
由对立事件的概率：$P（A）=1-P（\overline A）=\frac{4}{5}$．
即$P（\overline A）=\frac{C_n^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，解得n=3；
（2）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1，2，3，
$P（η=1）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
$P（η=2）=\frac{C_3^2}{C_6^2}•\frac{C_3^2}{C_4^2}+\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}•\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{5}$，
P（η=3）=1-P（η=1）$-P（η=2）=\frac{3}{5}$．
则η的分布列为：

η	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$

$Eη=1×\frac{1}{5}+2×\frac{1}{5}+3×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法及应用，考查考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．