Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$前n项和为T_n，问满足${T_n}＞\frac{100}{209}$的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析 （1）利用已知条件转化为数列是等差数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解即可．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），
得a_n-a_n-1=2（n=2，3，4，…）．
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列．故a_n=2n-1．-------（6分）
（2）${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{n}{2n+1}$-------（10分）
由${T_n}=\frac{n}{2n+1}＞\frac{100}{209}$，得$n＞\frac{100}{9}$，
满足${T_n}＞\frac{100}{209}$的最小正整数为12．-------（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．