Question

11．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，则抛物线C₂的方程为x²=16y．

Answer 1

分析 由题意可得双曲线的渐近线方程和离心率，可得b=$\sqrt{3}$a，c=2a，由点到直线的距离公式可得p的方程，代入化简可得p值，进而可得方程．

解答 解：由题意可得双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
化为一般式可得bx±ay=0，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=2，
解得b=$\sqrt{3}$a，∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，
又抛物线C₂：x²=2py（p＞0）故焦点到bx±ay=0的距离d=$\frac{\frac{ap}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ap}{2c}$=2，
∴p=$\frac{4c}{a}$=8，
∴抛物线C₂的方程为：x²=16y
故答案为：x²=16y

点评 本题考查双曲线与抛物线的简单性质，涉及离心率的应用和点到直线的距离公式，属中档题．