Question

3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c²=a²+b²-ab．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．
（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）c²=a²+b²-ab．即ab=a²+b²-c²
由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=$\frac{π}{3}$．
∴B=$\frac{2π}{3}-A$，且A∈（0，$\frac{2π}{3}$）．
那么：cosA+cosB=cosA+cos（$\frac{2π}{3}-A$）=sin（$\frac{π}{6}+A$），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$）．
∴$\frac{π}{6}≤$$\frac{π}{6}+A$$≤\frac{5π}{6}$，
故得当$\frac{π}{6}+A$=$\frac{π}{2}$时，cosA+cosB取得最大值为1．

点评 本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．