Question

15．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$，以原点O为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，这四点围成的四边形面积为b，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 3
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求得圆得方程，则双曲线的两条渐近线方程为y=±bx，利用四边形ABCD的面积为b，求得A点坐标，代入圆的方程，即可求得b得值，

解答 解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x²+y²=1，双曲线的两条渐近线方程为y=±bx，
设A（x，bx），∵四边形ABCD的面积为b，
∴2x•2bx=b，
∴x=±$\frac{1}{2}$，将A（$\frac{1}{2}$，$\frac{b}{2}$）代入x²+y²=1，可得$\frac{1}{4}$+$\frac{{b}^{2}}{4}$=1，∴b=$\sqrt{3}$
故选A．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题．