Question

19．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤a\end{array}\right.（{a＞0}）$，若z=x+ay的最大值为2，则$m+\frac{a^2}{{m-\sqrt{2}}}（{m＞\sqrt{2}}）$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值求出a，然后利用基本不等式求解表达式的最值．

解答 解：实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤a\end{array}\right.（{a＞0}）$的可行域如图：z=x+ay的最大值为2，
可知y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x+y=a}\end{array}\right.$解得B（0，a）；
当a≥1时，直线y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$过B，纵截距最大，此时z的最大值为：a²=2．∴a=$\sqrt{2}$．
当0＜a＜1时，直线y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$过A，纵截距最大，此时z的最大值为：$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$a²=2．
∴a=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$∉（0，1）舍去．
综上a=$\sqrt{2}$，于是由m$＞\sqrt{2}$，可得m-$\frac{2}{m-\sqrt{2}}$=m-$\sqrt{2}+$$\frac{2}{m-\sqrt{2}}$$+\sqrt{2}$≥2$\sqrt{2}+\sqrt{2}$=$3\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=x+ay的最大值为2的情况下求的最小值．着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．