Question

4．已知△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且知A、B、C依次成等差数列，a+c=13，a²+c²=89，m为函数$y=\frac{{{x^2}+1}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$的最小值；椭圆E：的左右焦点为F₁，F₂，E上一点P到F₁距离的最大值为b，最小值为m，则椭圆E的离心率的算术平方根为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 由等差数列的性质求得B=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理求得b的值，根据函数的单调性求得m的值，设椭圆方程，根据椭圆的性质，即可求得a和c的值，求得椭圆的离心率，即可求得椭圆E的离心率的算术平方根．

解答 解：由题意可知：A、B、C依次成等差数列，则2B=A+C，则B=$\frac{π}{3}$，
由a+c=13，a²+c²=89，则（a+c）²=a²+2ac+c²，则ac=40，
在△ABC中，由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB=89-2×40×$\frac{1}{2}$=49，
则b=7，
由函数$y=\frac{{{x^2}+1}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，当x=0时取最小值1，则m=1，
设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由P到F₁距离的最大值为b，最小值为m，则$\left\{\begin{array}{l}{a+c=7}\\{a-c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，
椭圆E的离心率的算术平方根$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选C．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查等差数列性质，余弦定理，及函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．