Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．
（1）求cosA的值；
（2）若${S_{△ABC}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）sinA，sinC，sinB成等差数列．由正弦定理得a+b=2c，a=2b，利用余弦定理可得cosA的值；
（2）由cosA的值，求解sinA的值，根据S=$\frac{1}{2}$bcsinA，即可求解c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，
∴sinA+sinB=2sinC
由正弦定理得a+b=2c
又a=2b，可得$b=\frac{2}{3}c$，
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\frac{4}{9}{c^2}+{c^2}-\frac{16}{9}{c^2}}}{{2×\frac{2}{3}{c^2}}}=-\frac{1}{4}$；
（2）由（1）可知$cosA=-\frac{1}{4}$，
得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{c^2}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$，
解得：$c=4\sqrt{2}$
故得${S_{△ABC}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$时，c的值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等差数列的性质以及正余弦定理的运用，属于基础题．