Question

6．若λ为实数，若关于x的方程$\sqrt{{x^2}-λ}+2\sqrt{{x^2}-1}=x$有实数解，则λ的取值范围是[0，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 移项得$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$，求出右侧函数的单调性和值域，根据方程有解可判断出解的范围，利用函数图象得出不等式从而得出λ的范围．

解答 解：∵$\sqrt{{x^2}-λ}+2\sqrt{{x^2}-1}=x$，
∴$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
令f（x）=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$（x≥1或x≤-1），
显然当x≤-1时，f（x）＜0，
∴方程$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$无解，
当x≥1时，f′（x）=1-$\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-1}-2x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$，
∵x²-1-4x²=-3x²-1＜0，
∴x²-1＜4x²，即$\sqrt{{x}^{2}-1}$＜2x，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，
令f（x）=0得x=2$\sqrt{{x}^{2}-1}$，解得x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴当1≤x≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$时，f（x）≥0，当x$＞\frac{2}{\sqrt{3}}$时，f（x）＜0，
∴方程$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$的解必在区间[1，$\frac{2}{\sqrt{3}}$]上．
令g（x）=$\sqrt{{x}^{2}-λ}$（1≤x≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$），
（1）当λ=0时，g（x）=x，∴g（1）=1，又f（1）=1，
∴x=1为方程$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$的解，符合题意；
（2）当λ＜0时，g（x）=$\sqrt{{x}^{2}-λ}$＞g（1）=$\sqrt{1-λ}$＞1，
而f（x）≤f（1）=1，
∴方程$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$无解，不符合题意；
（3）当λ＞0，令y=g（x）=$\sqrt{{x}^{2}-λ}$，
则$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{λ}=1$，∴g（x）的图象为等轴双曲线右支在第一象限内的部分（含右顶点），
双曲线的右顶点为（$\sqrt{λ}$，0），
做出f（x）和g（x）的函数图象如图所示：

∵方程g（x）=f（x）在[1，$\frac{2}{\sqrt{3}}$]上有解，∴0＜$\sqrt{λ}$$≤\frac{2}{\sqrt{3}}$，
即0＜λ≤$\frac{4}{3}$．
综上，0≤λ≤$\frac{4}{3}$．
故答案为：$[{0，\frac{4}{3}}]$．

点评 本题考查了函数的单调性判断，函数零点与函数图象的关系，分类讨论思想，属于中档题．