Question

1．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小．

Answer 1

分析 方法一：（1）证明：BD⊥AC．BD⊥PA．然后证明BD⊥平面PAC．
（2）说明∠PDA为二面角P-CD-B的平面角．通过求解三角形推出结果即可．
方法二：（1）建立如空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}=0，\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=0$，然后证明BD⊥平面PAC．
（2）求出平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，平面PCD的法向量，设二面角P-CD-B的大小为θ，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：方法一：证：（1）在Rt△BAD中，AD=AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC．…．（4分）
解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P-CD-B的平面角．
又∵PA=AD，∴∠PDA=45°．…..（8分）
方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）
在Rt△BAD中，AD=2，BD=$2\sqrt{2}$，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴$\overrightarrow{AP}=（0，0，2），\overrightarrow{AC}=（2，2，0），\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$
∵$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}=0，\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=0$，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．…（4分）
解：（2）由（1）得$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2），\overrightarrow{CD}=（-2，0，0）$．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，则$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PD}=0，\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CD}=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}0+2y-2z=0\\-2x+0+0=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=z\end{array}\right.$故平面PCD的法向量可取为$\overrightarrow{n_1}=（0，1，1）$
∵PA⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{AP}=（0，01）$为平面ABCD的法向量．
设二面角P-CD-B的大小为θ，依题意可得$cosθ=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AP}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{AP}}|}}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（8分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．