Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{a-x（1-x）}$的值恒小于1，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{5}{4}$，+∞）
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 根据题意可得a-x（1-x）＜0或a-x（1-x）＞1恒成立，分类讨论，根据二次函数的性质即可判断．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{a-x（1-x）}$的值恒小于1，
∴$\frac{1}{a-x（1-x）}$＜1，
∴a-x（1-x）＜0或a-x（1-x）＞1，
对于a-x（1-x）＜0，即a＜x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，故无论a取何值，不等式不可能恒成立，
对于a-x（1-x）＞1，即a＞1+x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，故a＞$\frac{5}{4}$，
综上所述a的取值范围为（$\frac{5}{4}$，+∞），
故选：C．

点评 本题考查了二次函数的最值和函数恒成立的问题，属于中档题．