Question

11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（l为参数，α为直线l的倾斜角）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位．
（Ⅰ）当α=$\frac{π}{4}$时，求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C和直线l交于M，N两点，且|MN|=$\sqrt{15}$，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去参数t可得：x-y-1=0，利用互化公式可得极坐标方程．
（II）由曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数θ可得普通方程．将直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（l为参数，代入圆的方程：t²-2tcosα-3=0，利用|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{15}$，代入解出即可的．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去参数t可得：x-y-1=0，可得极坐标方程：ρcosθ-ρsinθ-1=0，即$\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）$=1．
（II）由曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数θ可得：（x-2）²+y²=4．
将直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（l为参数，代入圆的方程：t²-2tcosα-3=0，△＞0．
则t₁+t₂=2cosα，t₁•t₂=-3，|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+12}$=$\sqrt{15}$，
cosα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．