Question

6．设抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角为$\frac{2π}{3}$，求线段PF的长．

Answer 1

分析 通过设P（m，n）（不妨令m、n均为正数），利用△APF为等腰三角形及直角三角形，求出n，m，通过抛物线的定义求解即可．

解答 解：由题可知：抛物线y²=8x的焦点为：F（2，0），
抛物线y²=8x的准线方程为：x=-2，
不妨设P（m，n）（m、n均为正数），则8m=n²，
∴|PA|=2+m，|FA|=$\sqrt{{4}^{2}+{n}^{2}}$，
由抛物线的定义可知：|PF|=|PA|=2+m，
∴△APF为等腰三角形，
又∠AFx=$\frac{2π}{3}$，∴2p=|FA|cos60°，|FA|=8．
即$\sqrt{{4}^{2}+{n}^{2}}$=8，n²=48．
得：8m=48，
解得：m=6，|PF|=2+6=8，
故答案为：8．

点评 本题以抛物线为载体，考查求线段长度，考查抛物线的简单性质的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．