Question

1．已知点F（1，0），圆E：（x+1）²+y²=8，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）若直线l与圆O：x²+y²=1相切，并与（1）中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ，且满足$\frac{2}{3}$≤λ$≤\frac{3}{4}$时，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可知点的轨迹是以E（-1，0）、F（1，0）为焦点，长轴长2a=2$\sqrt{2}$的椭圆，则b²=a²-c²，即可求得动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）由直线与圆O相切，则n²=m²+1，将直线方程代入椭圆，利用韦达定理，及向量的坐标运算，表示出λ，利用三角形的面积公式求得△AOB面积S与λ的关系，即可求得△AOB面积S的取值范围．

解答 解：（1）连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=2$\sqrt{2}$＞|EF|=2，
∴点的轨迹是以E（-1，0）、F（1，0）为焦点，长轴长2a=2$\sqrt{2}$的椭圆，
即动点Q的轨迹Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）依题可知的斜率不可能为零，则设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．
∵直线l即x-my-n=0与圆O：x²+y²=1相切，则$\frac{丨n丨}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=1，n²=m²+1，
又∵设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去整理得（m²+2）y²+2mnx+n²-2=0，
由△=（2mn）²-4（m²+2）（n²-2）=8（m²-n²+2）=8，
由韦达定理得y₁+y₂=-$\frac{2mn}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-2}{{m}^{2}+2}$．
又由求根公式有y_1，2=$\frac{-2mn±\sqrt{△}}{2（{m}^{2}+2）}$．
∵λ=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+n）（my₂+n）y₁y₂，
=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²，
=$\frac{3{n}^{2}-2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+2}$=$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$．
△AOB面积S，S=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{OA}$丨•丨$\overrightarrow{OB}$丨sin∠AOB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-（\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}）^{2}}$，
=$\frac{1}{2}$丨x₁y₁-x₂y₁丨=$\frac{1}{2}$丨（my₁+n）y₂-（my₂+n）y₁丨，
=$\frac{1}{2}$丨n（y₂-y₁）丨，
=$\frac{1}{2}$×丨n丨×$\frac{2\sqrt{2}}{{m}^{2}+2}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（{m}^{2}+2）^{2}}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}•\frac{1}{{m}^{2}+2}}$
∵$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$+$\frac{1}{{m}^{2}+2}$=1，且λ=$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]．
∴S=$\sqrt{2}$•$\sqrt{λ•（1-λ）}$，
∴S∈[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{2}{3}$]．
△AOB面积S的取值范围[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标运算，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．