Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n与2S_n的等差中项为1．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）对任意的n∈N^*，不等式$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}≥\frac{λ}{{{a_n}^2}}$恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过等差中项的性质可知a_n+2S_n=2，进而整理可知数列{a_n}是首项为$\frac{2}{3}$、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，计算即得结论；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{27}{4}$×9^n-1，根据等比数列的求和公式，再根据题意可得λ≤$\frac{27}{8}$（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$），根据数列的单调性即可求出．

解答 解：（1）∵a_n是2S_n和1的等差中项，
∴a_n+2S_n=2，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$a_n，
当n=1时，a₁=1-$\frac{1}{2}$a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$，
当n≥2时，S_n-1=1-$\frac{1}{2}$a_n-1，
两式相减得：a_n=1-$\frac{1}{2}$a_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{2}{3}$、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴a_n=2×（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{27}{4}$×9^n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{27}{4}$（1+9+9²+…+9^n-1）=$\frac{27}{4}$×$\frac{{9}^{n}-1}{8}$，
∵不等式$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}≥\frac{λ}{{{a_n}^2}}$恒成立，
则有$\frac{27}{4}$×$\frac{{9}^{n}-1}{8}$≥$\frac{λ×{9}^{n}}{4}$，即λ≤$\frac{27}{8}$（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$），
令f（n）=$\frac{27}{8}$（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$），则f（n）在N*上递增，
∴f（n）≥f（1）=3，
∴实数λ的取值范围（-∞，3]．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和，以及数列的函数特征，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．