Question

5．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，0），倾斜角为$\frac{3π}{4}$．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ；
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）记直线l和曲线C的两个交点分别为A，B，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）直线l过点P（1，0），倾斜角为$\frac{3π}{4}$．可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得圆的方程．
（2）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的方程可得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（1）直线l过点P（1，0），倾斜角为$\frac{3π}{4}$．可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，可得圆的方程：x²+y²=4x．
（2）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的方程可得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．
∴t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-3，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\sqrt{2}）^{2}-4×（-3）}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．