Question

11．已知关于x的一元二次方程9x²+6ax-b²+4=0，a，b∈R
（1）若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]内任取一个数，b是从区间[0，2]内任取一个数，求已知方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）列举出所有基本事件个数，及满足条件方程有两个不相等实根（△＞0）的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
（2）计算a是从区间[0，3]内任取一个数，b是从区间[0，2]内任取一个数，对应的基本事件的面积，及满足条件方程有实根的基本事件的面积，代入几何概型概率计算公式，可得答案．

解答 解：设事件A为“方程9x²+6ax-b²+4=0有2个不相等的实数根”，事件B为“方程9x²+6ax-b²+4=0有实数根”
（1）由题意，知基本事件有9个，即（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）其中第一个表示a的取值，第二个数表示b的取值．
由△=36a²+36（-b²+4）=36a²+36b²-36×4＞0得a²+b²＞4
事件A要求a，b满足条件a²+b²＞4，可知包含6个基本文件：（1，2），（2，2），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
∴方程有2个不同实根的概率$P（A）=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
（2）由题意方程有实根的区域为图中阴影部分，
∴所求概率为$P（B）=\frac{6-π}{6}=1-\frac{π}{6}$．

点评 本题考查的知识点是几何概型，古典概型，其中分析出满足条件的基本事件的实质是解答的关键．