Question

9．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线是圆C：（x-1）²+y²=4的切线．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）若过抛物线E的焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，Q（-1，0），且BQ⊥BF，如图所示．证明：|BF|-|AF|=-4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的准线方程及圆心与半径，则1+$\frac{p}{2}$=2，即可求得抛物线E的方程；
（Ⅱ）方法一：由BQ⊥BF，利用勾股定理求得x₂，将直线AB的方程代入抛物线方程利用韦达定理即可求得x₁，分别表示出|BF|，|AF|，即可求证|BF|-|AF|=-4；
方法二：直线AB的倾斜角为α，由抛物线的焦点弦公式分别表示出|BF|，|AF|，由BQ⊥BF，则丨BF丨=$\frac{2}{1+cosα}$=2cosα，即可求证|BF|-|AF|=-4．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线x=-$\frac{p}{2}$，
圆C：（x-1）²+y²=4，圆心为（1，0），半径为2，
则1+$\frac{p}{2}$=2，则p=2，
∴抛物线E的方程为：y²=4x；
（Ⅱ）证明：方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由BQ⊥BF，则丨BQ丨²+丨BF丨²=丨QF丨²，
即（x₂+1）²+（x₂-1）²+2y₂²=4，
由y₂²=4x₂，则x₂²+4x₂-1=0，由x₂＞0，则x₂=-2+$\sqrt{5}$，
由AB与x轴不垂直，设直线AB的方程y=k（x-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁x₂=1，则x₁=2+$\sqrt{5}$，
∴|BF|-|AF|=（x₂+$\frac{p}{2}$）（x₁+$\frac{p}{2}$）=（-2+$\sqrt{5}$+1）-（2+$\sqrt{5}$+1）=-4，
方法二：设直线AB的倾斜角为α，
则丨AF丨=丨AF丨cosα+丨QF丨=丨AF丨cosα+2，
则丨AF丨=$\frac{2}{1-cosα}$，
同理可知：丨BF丨=$\frac{2}{1+cosα}$，由BQ⊥BF，则丨BF丨=$\frac{2}{1+cosα}$=2cosα，
即cosα=1-cos²α，
则|BF|-|AF|=$\frac{2}{1+cosα}$-$\frac{2}{1-cosα}$=$\frac{-4cosα}{1-co{s}^{2}α}$=-4，
∴|BF|-|AF|=-4．

点评 本题考查抛物线简单几何性质，抛物线的焦点弦公式，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．