Question

18．函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），且当x≠1时，其导函数f'（x）满足xf'（x）＞f'（x），若1＜a＜2，则（　　）

• A． f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• B． $f（2）＜f（{log_2}a）＜f（{2^a}）$
• C． $f（{log_2}a）＜f（{2^a}）＜f（2）$
• D． $f（{log_2}a）＜f（2）＜f（{2^a}）$

Answer 1

分析 函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），则函数f（x）关于直线x=1对称．当x≠1时，其导函数f'（x）满足xf'（x）＞f'（x），可得（x-1）f′（x）＞0，进而得到单调性．若1＜a＜2，则0＜log₂a＜1＜2＜2^a，f（log₂a）=f（2-log₂a），2-log₂a∈（1，2），即可得出．

解答 解：函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），则函数f（x）关于直线x=1对称．
当x≠1时，其导函数f'（x）满足xf'（x）＞f'（x），则（x-1）f′（x）＞0，
x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
若1＜a＜2，则0＜log₂a＜1＜2＜2^a，f（log₂a）=f（2-log₂a），2-log₂a∈（1，2），
∴f（log₂a）=f（2-log₂a）＜f（2）＜f（2^a），
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．