Question

13．（3x+2）¹⁵展开式中最大系数是第7项．

Answer 1

分析 利用二项式（3x+2）¹⁵展开式的通项公式T_r+1，设第r+1项的系数最大，得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{15}^{r}{•2}^{r}{•3}^{15-r}{≥C}_{15}^{r+1}{•2}^{r+1}{•3}^{14-r}}\\{{C}_{15}^{r}{•2}^{r}{•2}^{15-r}{≥C}_{15}^{r-1}{•2}^{r-1}{•3}^{16-r}}\end{array}\right.$，求出r的值即可．

解答 解：二项式（3x+2）¹⁵展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{15}^{r}$•2^r•3^15-r•x^15-r，
∴第r+1项的系数为${C}_{15}^{r}$•2^r•3^15-r；
设第r+1项的系数最大，则有
$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{15}^{r}{•2}^{r}{•3}^{15-r}{≥C}_{15}^{r+1}{•2}^{r+1}{•3}^{14-r}}\\{{C}_{15}^{r}{•2}^{r}{•2}^{15-r}{≥C}_{15}^{r-1}{•2}^{r-1}{•3}^{16-r}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15!•3}{r!•（15-r）!}≥\frac{15!•2}{（r+1）!•（14-r）!}}\\{\frac{15!•2}{r!•（15-r）!}≥\frac{15!•3}{（r-1）!•（16-r）!}}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{15-r}≥\frac{2}{r+1}}\\{\frac{2}{r}≥\frac{3}{16-r}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{r≥\frac{27}{5}}\\{r≤\frac{32}{5}}\end{array}\right.$，
即$\frac{27}{5}$≤r≤$\frac{32}{5}$；
又r∈N，∴得r=6，
∴（3x+2）¹⁵展开式中最大系数是第7项．
故答案为：第7项．

点评 本题考查了二项式定理与二项展开式的通项公式应用问题，属于基础题．