Question

20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sin2A+sin（A-B）=sinC，且$A≠\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求$\frac{a}{b}$的值；
（Ⅱ）若c=2，$C=\frac{π}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角形内角和定理sinC=sin（A+B），打开化解，根据正弦定理，可得$\frac{a}{b}$的值；
（Ⅱ）c=2，$C=\frac{π}{3}$，由余弦定理求出a，b的值，根据△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC$可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由2sin2A+sin（A-B）=sinC，
可得2sin2A+sin（A-B）=sin（A+B），可得：2sinAcosA=sinBcosA
∵$A≠\frac{π}{2}$．
∴cosA≠0．
得2sinA=sinB，
由正弦定理：2a=b，即$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）已知c=2，$C=\frac{π}{3}$，
由余弦定理：得a²+b²-ab=4．
又由（Ⅰ）可知：2a=b，
从而解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
那么：△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本体考查了正余弦定理的运用和计算能力．属于基础题．