Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），以椭圆C的短轴为直径的圆O经过椭圆C左右两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．
（1）求圆O的方程和椭圆C的离心率e；
（2）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断MQ与NQ所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，b=c，b²+c²=a²，解方程可得b，c，进而得到圆O的方程和椭圆的离心率；
（2）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），Q（x_Q，y₀），分别代入圆和椭圆方程，运用直线方程的点斜式求得AP，BP的方程，令x=0，可得M，N的坐标，求得向量MQ，NQ的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到结论．

解答 解：（1）由椭圆方程可得a=2，
又以椭圆C的短轴为直径的圆O经过椭圆C左右两个焦点，
可得b=c且b²+c²=a²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
则圆O的方程为x²+y²=2，椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）如图所示，设P（x₀，y₀）（y₀≠0），Q（x_Q，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1\\{x_Q}^2+{y_0}^2=2\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}^2=4-2{y_0}^2\\{x_Q}^2=2-{y_0}^2\end{array}\right.$，
又A（-2，0），B（2，0），由AP：$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，得$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$．
由BP：$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$，得$N（0，-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$．
所以$\overrightarrow{QM}=（-{x_Q}，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}-{y_0}）$=$（-{x_Q}，-\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，
$\overrightarrow{QN}=（-{x_Q}，-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}-{y_0}）=（-{x_Q}，-\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，
所以$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}={x_Q}^2+\frac{{{x_0}^2{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=2-{y_0}^2+\frac{{（4-2{y_0}^2）{y_0}^2}}{{-2{y_0}^2}}=0$，
所以QM⊥QN，即MQ与NQ所在的直线互相垂直．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查两直线垂直的条件，转化为两向量垂直的条件：数量积为0是解题的关键，考查直线和圆方程的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．