Question

8．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．
（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．
（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）基本事件总数n=${C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}$=36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}•{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}$=15，由此能求出恰好抽到两张A的概率．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，
甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，
乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，
从两个口袋分别任取两张牌．
基本事件总数n=${C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}$=36，
恰好抽到两张A包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}•{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}$=15，
∴恰好抽到两张A的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{15}{36}$=$\frac{5}{12}$．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{3}{36}$=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{15}{36}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{15}{36}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{3}{36}$=$\frac{1}{12}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

E（X）=$0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．