Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}{b}$=$\frac{1}{c}$．
（1）证明：a，c，b成等比数列；
（2）若△ABC的外接圆半径为$\sqrt{3}$，且4sin（C-$\frac{π}{6}$）cosC=1，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}{b}$=$\frac{1}{c}$，由余弦定理可得：$\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{a}$+$\frac{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}}{b}$=$\frac{1}{c}$，化简即可证明．
（2）4sin（C-$\frac{π}{6}$）cosC=1，C为锐角，利用积化和差可得：$sin（2C-\frac{π}{6}）$=1，C∈（0，$\frac{π}{2}$），$（2C-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$．解得C=$\frac{π}{3}$．利用余弦定理可得a²+b²-c²=2abcos$\frac{π}{3}$，又c²=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．

解答 （1）证明：∵$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}{b}$=$\frac{1}{c}$，由余弦定理可得：$\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{a}$+$\frac{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}}{b}$=$\frac{1}{c}$，化为c²=ab，∴a，c，b成等比数列．
（2）解：4sin（C-$\frac{π}{6}$）cosC=1，∴C为锐角，2$[sin（2C-\frac{π}{6}）+sin（-\frac{π}{6}）]$=1，化为：$sin（2C-\frac{π}{6}）$=1，
C∈（0，$\frac{π}{2}$），$（2C-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$．∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．
∴a²+b²-c²=2abcos$\frac{π}{3}$，又c²=ab，∴（a-b）²=0，解得a=b．
∴△ABC的周长=3a=$3×2×\sqrt{3}×sin\frac{π}{3}$=9．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．