Question

16．下列命题中
①A+B=$\frac{π}{2}$是sinA=cosB成立的充分不必要条件．
②${（\frac{1}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$的展开式中的常数项是第4项．
③在数列{a_n}中，a₁=2，S_n是其前n项和且满足S_n+1=$\frac{1}{2}{S_n}$+2，则数列{a_n}为等比数列．
④设过函数f（x）=x²-x（-1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（-3，1）
把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．

Answer 1

分析 对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①A+B=$\frac{π}{2}$，可得A=$\frac{π}{2}$-B，∴sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
∴A+B=$\frac{π}{2}$是sinA=cosB成立的充分不必要条件，正确．
②${（\frac{1}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$的展开式，通项为$（-1）^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{\frac{3}{2}r-3}$，令$\frac{3}{2}$r-3=0，可得r=2，常数项是第3项，不正确．
③在数列{a_n}中，a₁=2，S_n是其前n项和且满足S_n+1=$\frac{1}{2}{S_n}$+2，可得S_n=$\frac{1}{2}$S_n-1+2，两式相减可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，故数列{a_n}为等比数列，正确；
④f（x）=x²-x（-1≤x≤1），则f′（x）=2x-1∈[-3，1]，K的取值范围是[-3，1]，不正确．
故答案为①③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．