Question

11．已知一个半径为$\sqrt{7}$的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（　　）

• A． 18
• B． 16
• C． 12
• D． 8

Answer 1

分析 设这正三棱柱棱长为2a，由勾股定理得7=a²+$\frac{4}{3}$a²=$\frac{7}{3}$a²．从而求出棱长为2a=2$\sqrt{3}$．由此能求出这正三棱柱的体积．

解答 解：∵一个半径为$\sqrt{7}$的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，
设这正三棱柱棱长为2a，如图，
则AB=$\sqrt{3}$a，AO′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a．OO′=a，
∴7=a²+$\frac{4}{3}$a²=$\frac{7}{3}$a²．
整理，得a²=3，∴a=$\sqrt{3}$．
∴棱长为2a=2$\sqrt{3}$．
∴这正三棱柱的体积：
V=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×sin60°×2\sqrt{3}$=18．
故选：A．

点评 本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查空间想象能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．