Question

1．已知直线l：y=kx+m与椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和点M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A，B分别做x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁．
（1）若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点$D（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，求椭圆C的方程；
（2）当$k=\frac{1}{2}$时，若点N平分线段A₁B₁，求椭圆C的离心率．

Answer 1

分析 （1）由题意运用正三角形的性质可得b=$\sqrt{3}$c，将D代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可得直线l的方程，求得M，N的坐标，由中点坐标公式可得P的坐标，运用对称可得Q的坐标，联立直线l和椭圆方程，运用韦达定理，可得A（x₁，y₁）；设B（x₂，y₂），联立直线QM的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得B的横坐标，再由中点坐标公式即可得到3a²=4b²，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求离心率．

解答 解：（1）由椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形
的三个顶点，点$D（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，
得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}c\\ \frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b^2}=3\\{a^2}=4\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）当$k=\frac{1}{2}$时，由$y=\frac{1}{2}x+m$得M（0，m），N（-2m，0），
∵PM=MN，
∴P（2m，2m），Q（2m，-2m），
∴直线QM的方程为$y=-\frac{3}{2}x+m$，
设A（x₁，y₁），由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+m\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，
得$（{\frac{1}{4}{a^2}+{b^2}}）{x^2}+{a^2}mx+{a^2}（{{m^2}-{b^2}}）=0$，
∴${x_1}+2m=\frac{{-4{a^2}m}}{{{a^2}+4{b^2}}}$，∴${x_1}=-\frac{{2m（{3{a^2}+4{b^2}}）}}{{{a^2}+4{b^2}}}$，
设B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{2}x+m\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$得$（{\frac{9}{4}{a^2}+{b^2}}）{x^2}-3{a^2}mx+{a^2}（{{m^2}-{b^2}}）=0$
∴${x_2}+2m=\frac{{12{a^2}m}}{{9{a^2}+4{b^2}}}$，∴${x_2}=-\frac{{2m（{3{a^2}+4{b^2}}）}}{{9{a^2}+4{b^2}}}$，
∵点N平分线段A₁B₁，∴x₁+x₂=-4m，
∴$-\frac{{2m（{3{a^2}+4{b^2}}）}}{{{a^2}+4{b^2}}}-\frac{{2m（{3{a^2}+4{b^2}}）}}{{9{a^2}+4{b^2}}}=-4m$，∴3a²=4b²，
∴${x_1}=-3m，{y_1}=-\frac{1}{2}m$，代入椭圆方程得m²=$\frac{1}{7}$b²＜b²，符合题意，
∵a²=b²+c²=$\frac{3}{4}$a²+c²，即$\frac{1}{4}$a²=c²，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用正三角形的性质和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．