Question

7．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，以F₁F₂为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a²+b²=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：∵点（3，4）在以|F₁F₂|为直径的圆上，
∴c=5，可得a²+b²=25…①
又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$…②，
①②联解，得a=3且b=4，
可得双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故选：C．

点评 本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，主要是渐近线方程的运用，属于中档题．