Question

15．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=$\frac{1}{2}$的一个焦点重合，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P、Q两点．
（1）求p的值；
（2）若$\overrightarrow{FP}$+$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{FR}$，试求动点R的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）把椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{8}=\frac{1}{2}$化为标准方程，求出其焦点坐标为（±1，0），又抛物线C的焦点与椭圆的一个焦点重合，从而$\frac{p}{2}=1$，由此能求出p．
（2）设R（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow{FR}$，得x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y，从而y（y₁-y₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），FR的中点坐标为M（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），利用k_PQ=k_MA，能求出动点R的轨迹方程．

解答 解：（1）把椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{8}=\frac{1}{2}$化为标准方程得$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴c=$\sqrt{5-4}$=1，
∴其焦点坐标为（±1，0），又抛物线C的焦点与椭圆的一个焦点重合，
∴$\frac{p}{2}=1$，解得p=2．
（2）设R（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow{FR}$，得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x-1，y），
∴x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y，
∵${{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}，{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}$，∴y（y₁-y₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
又FR的中点坐标为M（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），
当x₁≠x₂时，利用k_PQ=k_MA，得$\frac{4}{y}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{\frac{y}{2}}{\frac{x+1}{2}-4}$，
整理，得y²=4x-28，
当x₁=x₂时，R的坐标为（7，0），满足y²=4x-28，
∴动点R的轨迹方程是y²=4x-28．

点评 本题主要考查抛物线、椭圆的概念和性质，直线和椭圆、抛物线的位置关系，直线的性质等知识，意在考查转化和化归思想，数形结合思想和学生的运算求解能力，是中档题．