Question

3．已知ω＞0，a＞0，f（x）=asinωx+$\sqrt{3}$acosωx，g（x）=2cos（ax+$\frac{π}{6}$），h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g（x）+h（x）的图象的一条对称轴方程可以为（　　）

• A． x=$\frac{π}{6}$
• B． x=$\frac{13π}{6}$
• C． x=-$\frac{23π}{12}$
• D． x=-$\frac{29π}{12}$

Answer 1

分析 由函数图象可知，三函数的最大值均为2，可得：a=1，由图象可知，f（x）的周期为π，可得ω=2，即可求出f（x）和g（x）解析式，因为h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$可求h（x），那么函数g（x）+h（x）化解．可得对称轴方程．从而得答案．

解答 解：∵f（x）=asinωx+$\sqrt{3}$acosωx=2asin（ωx+$\frac{π}{3}$），g（x）=2cos（ax+$\frac{π}{6}$），
又由函数图象可知，三函数的最大值均为2，可得：a=1，
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），g（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$），
由图象可知，f（x）的周期为π，∴ω=2
h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{2sin（2x+\frac{π}{3}）}{2cos（x+\frac{π}{6}）}$=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
那么函数g（x）+h（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）+2sin（x+$\frac{π}{6}$）=$2\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$$+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{5π}{12}$）．
令x$+\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z）
可得对称轴方程为x=$\frac{π}{12}+kπ$，
当k=-2时，可得x=-$\frac{23π}{12}$．
故选C．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用函数图象求出f（x）和g（x）解析式是解决本题的关键．属于中档题．