Question

【题目】四棱锥中，点在平面内的射影在棱上，，底面是梯形，，且．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与所成角为60°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明面面垂直平面平面，就是要证线面垂直平面，其实质还是应用线面垂直判定与性质定理，经多次转化给予论证：先由射影定义得底面，因而有，再由，转化为平面（2）利用空间向量求二面角，先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，由直线与所成角为60°，利用向量数量积确定各点坐标，最后根据方程组求各面法向量，利用向量数量积求两法向量夹角，进而由二面角与两法向量关系确定二面角的余弦值.

试题解析：（1）∵平面平面，∴

∵平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面．

（2）

以为原点，如图建立空间直角坐标系，∵平面，

∴轴，

则，设，

∴，∴，

∵，∴，

∵与所成角为60°，

∴，

∴，∴，

∵，∴，∵，∴，∴

∴，设平面的法向量为，

由，得平面的一个法向量为

设平面的法向量为，

由，得平面的一个法向量为

∴，

∵二面角的平面角为钝角，

∴二面角的余弦值为