【题目】设函数,已知在处的切线相同.
(1)求的值及切线的方程;
(2)设函数,若存在实数使得关于的不等式对上的任意实数恒成立,求的最小值及对应的的解析式.
【答案】(1),(2)的最小值为2,
【解析】
试题分析:(1)由导数几何意义得,又切点相同,所以,从而可列方程组且,解得,,再根据点斜式得切线方程:(2)由题意可得为函数的一条公切线,先求公切线,易得:,解得公切线为,再证恒成立
试题解析:解:(1),
由已知且,
∴且,得,
又,∴,
∴,
∴切线的方程为, 即
(2)由(1)知,,又因为,
可知,
①由对恒成立,
即对恒成立,
所以,解得①
②由对恒成立,即设,
则,令,得,
当时,单调递增;
当时,单调递减,
故,
则,故得,②
由①②得,③
由存在实数使得③成立的充要条件 是:不等式,有解,该不等式可化为有解
令,则有,设,
,
可知在上递增,在上递减,
又,所以在区间内存在一个零点,故不等式的解为即,得,
因此的最小值为2,代入③中得,故,此时对应的的解析式为
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【题目】已知直线l、m 、n 与平面α、β给出下列四个命题:
①若m∥l,n∥l,则m∥n; ②若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥β,α⊥β,则m∥α
其中,假命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,其下列叙述正确的是( )
A. 满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B. 满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C. λ+μ的最大值为3
D. λ+μ的最小值不存在
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【题目】已知两直线l1:ax﹣by+4=0,l2:(a﹣1)x+y+b=0,分别求满足下列条件的a,b值
(1)l1⊥l2,且直线l1过点(﹣3,﹣1);
(2)l1∥l2,且直线l1在两坐标轴上的截距相等.
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【题目】如图,已知长方形中,为的中点,将 沿折起,使得平面平面.
(1)求证:;
(2)若点是线段上的一动点,问点在何位置时,三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1:3?
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【题目】给出下列四个命题中:
①函数的一个对称中心为;
②若, 为第一象限角,且,则;
③若,则存在实数,使得;
④点是三角形所在平面内一点,且满足,则点是三角形的内心.
其中正确的序号是__________.(把你认为正确的序号都填上)
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程并指出其形状;
(2)设是曲线上的动点,求的取值范围.
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